一个函数可导，怎么证明它的导数连续？

证明:用反证法，设

lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。

如此一来，取L’ = (L+f'(a)) / 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于

epsilon = (L-f'(a))/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，

| f'(x) – L | L – epsilon = L’。

然后考虑在a点导数的定义:

lim (x趋于a) [f(x) – f(a)] / (x-a) = f'(a)，

考虑闭区间 [a,x] (或者 [x,a]，取决于从哪个方向趋近于a，不过无所谓的)，由于函数在该闭区间上连续，在开区间 (a,x)上可导，故根据拉格朗日微分中值定理，存在 c 属于 (a,x)，使得

[f(x) – f(a)] / (x-a) = f'(c)，

接着，由于当x趋于a时， c也是趋于a的，所以最终，c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)(注意我的epsilon 和邻域都已经取定了，对于固定的一个区间，只要c充分接近a，就一定会进入到这个区间)，到那个时候，就总是有

f'(c) > L’，这样一来，当c趋于a时，由于函数极限的保号性，就有

f'(a) >= L’ > f'(a)，这显然是一个矛盾。

同理，你也可以证明，当L

怎么求可导性？

如果y=f（x）在（a，b）内可导并且在A+和B-处的导数都存在，则称y=f（x）在闭区间[a,b]上可导。

定理

如果函数y=f（x）在点x处可导，则函数y=f（x）在点X处连续，反之，函数y=f（x）在点x处连续，但函数y=f(x)处不一定可导。

充要条件

函数在点X处可导的充要条件是函数在点X处的左导数和右导数都存在并且相等。

判断可导性的三个依据是：函数在该点的去心邻域内有定义。函数在该点处的左、右导数都存在。左导数＝右导数。这与函数在某点处极限存在是类似的。

如果函数f(x)在（a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在（a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f'(x)。如果f(x)在（a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间［a,b]上可导，f'(x)为区间［a,b]上的导函数，简称导数。

若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y’或者f′（x)。

函数f(x)在它的每一个可导点x。处都对应着一个唯一确定的数值—导数值f′（x)，这个对应关系给出了一个定义在f(x)全体可导点的集合上的新函数，称为函数f(x)的导函数，记为f′（x)。

如何证明函数可导

函数在一点可导的一个充分条件是：

如果f(x)在xo处连续，在xo的去心领域内可导，且在x->x0时，

limf'(x)=A(存在），则：f(x)在xo处可导且f'(x0)=A

也就是说在解答在某一点是否可导时我们可以按以下步骤进行：

（1）先判断该点的连续性，如果不连续，则不可导；

（2）如果连续：可以有两种方法判断是否可导：

1：用定义法判断

2：用上边的充分条件：先求出该点的左右导数的极限，

若存在且相等则在该点可导；

否则用定义法判断（因为该条件只是一个充分条件）

如何证明二元函数可导，可微，连续？

• 下面有例题，能否对应讲解下
• 是对于多元函数来说,要证明在某一点是可微的,需要求出函数对各个未知数的偏导数.由于知道,各个偏导函数在这个点是连续的,则证明原函数在该点是可微的.证明是连续的方法也是 求出 左右极限,然后看这个极限值是否等于原函数在该点的原函数值

连续可导的周期函数唯一吗?如何证明？ 请问满足着变化率关系的函数，只有sinx和cosx吗？

• 又或者只要满足这一关系的函数，都可以表示成正弦函数？
• 证明：根据诱导公式，得sin(x+2π)=sinxcos(x+2π)=cosx即，两个函数都满足f(x+2π)=f(x)所以，两个函数都是T=2π的周期函数。